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\usepackage{array} % für Tabellenerstellung
\usepackage{booktabs} % für Tabellenerstellung

\author{Hannes Hauswedell}
\title{Statistik I - Wichtiges}
\date{2008-02-07}

\begin{document}

\parindent 0pt
\tableofcontents
\parskip 10pt

%\newpage

\section{Grundlagen}

\subsection{Rechnen mit Ereignissen}

\onehalfspacing
Seien A und B zwei Ereignisse bzw Ereignismengen eines Ereignis\-raums $\Omega$.

\begin{tabular}{ll}
\underline{Ereignis} & \underline{Wahrscheinlichkeit}\\
A 					& $ 0 \leq P(A) \leq 1 $ \\
\textbf{nicht} A  			& $ P(\overline{A}) = 1 - P(A)$ \textit{$(\overline{A}$ auch $A^{C}$ ist das Komplement von A)} \\
alle Ereignisse 			& $ P(\Omega ) = 1 $\\
keine Ereignis 				& $ P(\emptyset ) = 0 $ \\
A oder(/und) B (Vereinigung) 		& $ P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B) $ \\
 					& \textit{(falls A und B unabh. fällt die Subtraktion weg)}\\
A unter der Bedingung, dass B eintrifft & $ P(A\mid B) = \frac{P(A) \cap P(B}{P(B)}$\\
A und B (Durchschnitt) 			& $ P(A\cap B) = P(A) * P(B)$ \textit{(wenn A und B unabh.)}\\
 					& $ P(A\cap B) = P(A\mid B) * P(B)$ \textit{(wenn A und B abh.)}\\
\underline{anderes} & \\
A und B sind unabhängig g.d.w 		& $ A\cap B = \emptyset $\\
\end{tabular}
\newline

\onehalfspacing





\section{Verteilungen}
\subsection{Allgemeines}

Es gibt diskrete Verteilungen und stetige Verteilungen. Diskrete Verteilungen beinhalten endlich viele Einzelereignisse, stetige  Verteilungen bilden jeden x-Wert in einem Intervall auf eine Wahrscheinlichkeit an.\newline\newline
Verteilungen besitzen folgende Funktionen:

%\begin{table}[h]

\begin{tabular}{llll}
				& Formel				& in R	& Beschreibung \\
Dichtefunktion			& $f(x) = P(X=x)$			& d*	& gibt die Wahrscheinlichkeit für X=x an \\
(kumulative) Verteilungsfunktion & $F(x) = \int_{-\infty}^{x}f(t)dt$ 	& p*	& gibt die Wahrscheinlichkeit für $X\leq x$ an \\
Quantilfunktion			& $ q_{\alpha}(X) = F^{-1}(\alpha)$	& q*	& gibt das x an, bei dem $F(x) = \alpha$ \\
\end{tabular} 
%\newline\newline

%\end{table}

Verteilungen besitzen folgende Kennzahlen:

%\begin{table}[h]

\begin{tabular}{llll}
			& Symbol 		   & Formel(diskrete Verteilungen)	& Formel (stetige Verteilungen)		\\
Erwartungswert 		& $ \varepsilon (X) = \mu$ & $\sum_{k=0}^{\infty}{k * P(X=k)} $ & $\int_{-\infty}^{\infty}x*f(x)dx$		\\
Varianz 		& $var(X)=\sigma^2$ 	   & $\sum_{k=0}^{\infty}{(k-\mu)^2 * P(X=k)}$ 	&  $\int_{-\infty}^{\infty}(x - \mu)^2 f(x)dx$\\
Standartabweichung 	& $\sigma = \sigma_{X}$    & $\sqrt{var(X)}$ 			& 						\\
Median 			& med(X)		   & $ q_{\frac{1}{2}}(X) $ 		& 						\\
\end{tabular}

%\end{table}

\subsection{diskrete Verteilungen}
\subsubsection{diskrete Gleichverteilung}

\textit{auch uniforme Verteilung}

%\begin{table}[h]

\begin{tabular}{ll}
Schreibweise:		&	$ X \sim U_\Omega $			\\
Dichtefunktion: 	&	$ f(x) =  \dfrac{1}{|\Omega|}$ \\
\end{tabular}

%\end{table}

Wird verwendet für / zeigt:

\begin{itemize}
 \item Elementare Wahrscheinlichkeiten, die gleich groß sind.
 \item Bsp: Die Chance beim Würfeln eine bestimmte Zahl zu würfeln.
\end{itemize}

\subsubsection{Bernoulli-Verteilung}

%\begin{table}[h]

\begin{tabular}{ll}
Schreibweise:		&	$ X \sim ?(p)$		\\
			&	\textit{p ist die Erfolgwahrscheinlichkeit} \\
Dichtefunktion: 	&	$ P(X=1) =  p$		\\
			&	$ P(X=0) = q = 1 -p $	\\
Erwartungswert:		& 	$ \varepsilon (x) = p$	\\
Varianz:		&	$ var(X) = pq$		\\	
\end{tabular}

%\end{table}

Es gibt nur zwei Ereignisse (z.B. 0 und 1). Einem Ereignis wird eine bestimmte Wahrscheinlichkeit p zu gegeordnet, dem anderen ihr Komplement $q = 1 - p$.\newline

Wird verwendet für / zeigt:
\begin{itemize}
 \item Ja-Nein-Entscheidungen
 \item Bsp: Münzwurf ($p=q=0.5$)
 \item Bsp: ``eine-6-würfeln'' ($p= \frac{1}{6}$)
\end{itemize}


\subsubsection{Binomialverteilung}

%\begin{table}[h]

\begin{tabular}{ll}
Schreibweise:		&	$ X \sim B(n,p)	$	\\
			&	\textit{p ist die Einzelerfolgwahrscheinlichkeit} \\
			&	\textit{n ist die Anzahl der ``Versuche''} \\
Dichtefunktion: 	&	$ f(x) =  \binom n x * p^x * (1-p)^{n-x}$		\\
Erwartungswert:		& 	$ \varepsilon (x) = np$	\\
Varianz:		&	$ var(X) = npq$		\\	
\end{tabular}

%\end{table}

Es wird gezählt, wieviel von n unabhängigen Ereignissen mit jeweils einer Einzelwahrscheinlichkeit von p zutreffen.

Wird verwendet für / zeigt:
\begin{itemize}
 \item Eine Reihe von Bernoulli-Versuchen, mit hoher Einzelwahrscheinlichkeit
 \item Bsp: ``Wie wahrscheinlich ist es, dass unter n Personen genau x krank sind, wenn die Einzelwahrscheinlichkeit p ist?''
\end{itemize}

Verlauf der Dichtefunktion:

\begin{itemize}
 \item abhängig von den Parametern.
 \item z.T. Glockenkurvenähnlich
\end{itemize}


\subsubsection{Poissonverteilung}

%\begin{table}[h]

\begin{tabular}{ll}
Schreibweise:		&	$ X \sim P(\lambda)$	\\
			&	\textit{$\lambda$ ist bekannter Erwartungswert} \\
Dichtefunktion: 	&	$ f(x) =   \frac{\lambda^x}{x!}*e^{-\lambda}$		\\
Erwartungswert:		& 	$ \varepsilon (x) = \lambda$	\\
Varianz:		&	$ var(X) = \lambda$		\\	
\end{tabular}

%\end{table}

Wird verwendet für / zeigt:
\begin{itemize}
 \item Eine Reihe von Bernoulli-Ereignissen mit niedriger Einzelwahrscheinlichkeit.
 \item Ereignisse über einen bestimmten Zeitraum verteilt.
 \item Bsp: ``Wie wahrscheinlich ist es, dass genau x Unfälle in einem Zeitraum passieren, wenn $\lambda$ Unfälle erwartet werden?''
\end{itemize}

Verlauf der Dichtefunktion:

\begin{itemize}
 \item bei $\lambda < 1$ monoton abnehmend, ansonsten ähnlich Glockenkurve
\end{itemize}



\subsection{stetige Verteilungen}

\subsubsection{Normalverteilung}
%\begin{multicols}{2}
 
%\begin{table}[h]

\begin{tabular}{ll}
Schreibweise:		&	$ X \sim N (\mu , \sigma^2) $ 	\\			\\
Dichtefunktion: 	&	$f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} * e^{-\frac{1}{2}z^2}$ \\
Erwartungswert:		& 	$ \varepsilon (x) = \mu$	\\
Varianz:		&	$ var(X) = \sigma^2$		\\
\end{tabular}
 
%\end{table}

Eine \textbf{Standard}normalverteilung hat einen Erwartungswert von 0 und eine Varianz von 1.

Wird verwendet für / zeigt:
\begin{itemize}
 \item z.B. Messfehler
\end{itemize}
Weitere Eigenschaften:
\begin{itemize}
 \item symmetrisch über $\mu$
\end{itemize}

Kritische Bereiche bei der \textbf{Standard}normalverteilung und einem Signifikanzniveau von 5\%:

\begin{tabular}{ccc}
 Erwartungswert von $H_1$	& Art des Tests		& kritischer Bereich 	\\\hline
 $\mu > 0$			& einseitig		& $K =  \{ X_i \geq c = 1.64 \}$	\\
 $\mu < 0$			& einseitig		& $K =  \{ X_i \leq c = -1.64 \}$	\\
 $\mu \neq 0$			& zweiseitig		& $K =  \{ |X_i| \geq c = 1.96 \}$	\\
\end{tabular}


\subsubsection{T-Verteilung}
%\begin{table}[h]
\begin{tabular}{ll}
Schreibweise:		&	$ X \sim T(n) $ 				\\
			&	\textit{n Freiheitsgeraden}			\\
Dichtefunktion: 	&	$f_n(x) = $ \textit{kompliziert und unwichtig}	\\
Erwartungswert:		& 	$ \varepsilon (x) = 0$ (für $n \geq 2$)		\\
Varianz:		&	$ var(X) = \frac{n}{n-2}$ (für $n \geq 3$)	\\
\end{tabular}
%\end{table}

``Eine Normalverteilung mit geschätzer/unbekannter Varianz.''

Kritische Werte für T-Verteilungen mit bestimmten Freiheitsgraden sind fest (es gibt Tabellen dafür). Je höher der Freiheitsgrad, desto ähnlicher der Normalverteilung wird die T-Verteilung.

Wird verwendet für:
T-Test

Verlauf der Dichtefunktion: ähnlich der Normalverteilung

\subsubsection{$\chi^2$-Verteilung}

\begin{tabular}{ll}
Schreibweise:		&	$ X^2 \sim \chi^2_n $ 				\\
			&	\textit{n Freiheitsgeraden}			\\
Dichtefunktion: 	&	$f_n(x) = $ \textit{kompliziert und unwichtig}	\\
Erwartungswert:		& 	$ \varepsilon (x) = n$ 	\\
Varianz:		&	$ var(X) = 2n$ 	\\
\end{tabular}
 
Wird verwendet für:
\begin{itemize}
 \item $\chi^2$-Test
\end{itemize}



\section{Tests}

\subsection{Allgemeines}

Tests gehören zum Gebiet der schließenden Statistik. Dabei geht es darum die Aussagekraft konkreter Versuchsergebnisse zu interpretieren.

\begin{tabular}{lcl}
 wichtige Begriffe	& Symbol	& Beschreibung							\\\hline
 Nullhyptotese		& $H_0$		& Die Aussage, die man wiederlegen will.			\\
 Alternative		& $H_1 = H_A$	& Die Aussage, die man beweisen will.				\\
 kritischer Bereich	& K		& Der Bereich, der unter $H_0$ sehr unwahrscheinlich ist,d.h 	\\
			&		& dessen summierte Wahrscheinlichkeit im Signifikanzniveau liegt.\\
 Kritische Werte	& $c_*$		& absolute Grenzen des kritischen Bereichs (obere oder untere)	\\
 Signifikanzniveau	& $\alpha$	& gewählte Grenze für Signifikanz, überlicherweise 5\%		\\
 Fehler 1. Art		& $\alpha$	& Wahrscheinlichkeit, $H_0$ zu verwerfen, obwohl sie zutrifft;	\\
			&		& identisch mit dem Signifikanzniveau; ``False-Positives''	\\
 Power/Macht		& $1 - \beta$	& Gesamtwahrscheinlichekit unter $H_1$ im kritischen Bereich zu landen.\\
 Fehler 2. Art		& $\beta$	& Wahrscheinlichkeit, $H_1$ zu verwerfen, obwohl sie zutrifft; \\
			&		& Differenz von 1 und der Macht; ``False-Negatives'';		\\
			&		& üblicherweise muss $\beta \leq 20\%$ oder $\beta \leq 10\%$ sein\\ 
 Fallzahl		&	n	& Anzahl der ``Patienten''; je höher die Fallzahl, desto höher die Macht.\\
 Überschreitungswahr-	& ``P-Wert''	& Die Wahrscheinlichkeit aller Ereignisse, die genauso oder noch mehr\\
 scheinlichkeit		&		& gegen $H_0$  sprechen als das Ergebnis x, (kleiner desto besser)\\
			&		& also  $P = \sum_{k=x}^{n}H_0(k)$ (diskret), bzw. $P = 1 - F(x)$ (stetig oder diskret) \\ 
			&		& => zeigt wie deutlich Signifikanz erreicht oder verfehlt wurde.\\
 zweisetiges Testen	&		& es wird geprüft ob $H_0$ nicht vielleicht auch im negativen Fall\\
			&		& wiederlegt wird; kritischer Bereich wird auf beide ``Enden''	\\
			&		& aufegeteilt, mit jeweils halbierten Signifikanzniveau;	\\
			&		& $\rightarrow$ zwei unterschiedliche Fehler 1. Art\\
\end{tabular}

\subsection{Tests für verbundene Stichproben}

Es handelt sich um verbundene Stichproben wenn nur eine Stichprobe oder zwei gepaarte Stichproben untersucht werden. Bei zwei gepaarten Stichproben wird normalerweise die Differenz der Messwerte verglichen (Schlafzeit unter Medikament vs Placebo, Bremsweg unter neuen Reifen  vs alten Reifen etc).

Die Art der Verteilung von $H_1$ entspricht normalerweise der von $H_0$. Es gilt einen der folgenden Fälle zu zeigen (wobei $\mu_0 = \epsilon(H_0)$ und $ \mu = \epsilon(H_1)$):

\begin{tabular}{ccc}
 Erwartungswerte	& Art des Tests		\\\hline
 $\mu > \mu_0$		& einseitig		\\
 $\mu < \mu_0$		& einseitig		\\
 $\mu \neq \mu_0$	& zweiseitig		\\
\end{tabular}

Vorraussetzungen für die unterschiedlichen Tests (es wird außerdem vorausgesetzt, dass die Messwerte aller Tests unabhängig sind):

\begin{tabular}{l|c}
Test					& Messwertverteilung			\\\hline
Z-Test					& Normalverteilt mit bekannter Varianz  \\
T-Test (verbundene Stichp.)		& Normalverteilt			\\
Vorzeichentest				& beliebig, mit Median = Erwartungswert	\\
Vorzeichen-Rangsummen-Test,		& symmetrisch bez. Erwartungswert und stetig \\
\textit{auch} Wilcoxon-Test		&					\\
\end{tabular}


\subsubsection{Z-Test (für verbundene Stichproben)}

Die $H_0$ und $H_1$ entsprechen einer Normalverteilung, mit bekannter Varianz $\sigma_0^2$.
Dann sind die Mittelwerte $\overline{X}$ der Messwerte $X_i$ normalverteilt mit gleichem Erwartungswert und einer Varianz von $\sigma_0^2/n$.

Im ersten Schritt standardisieren wir nun den Mittelwert: $Z = \dfrac{\overline{X} - \mu_0}{\sigma_0/\sqrt{n}} $

Um Ablehnung/Akzeptanz der Nullhypothese zu testen, schauen wir nun einfach ob Z in den kritischen Bereich der Standartnormalverteilung (siehe 2.3.1) fällt oder nicht.


\subsubsection{T-Test (für verbundene Stichproben)}

Bei gleichen Voraussetzungen wie dem Z-Test, aber unbekannter Varianz, muss man diese experimentell bestimmen (geschätzte Varianz = $\widehat{\sigma}^2$).

Analog zum Z-Test standardisieren wir den Mittelwert (diesmal mit geschätzer Varianz): $T = \dfrac{\overline{X} - \mu_0}{\widehat{\sigma}/ \sqrt{n}}$

Der Mittelwert ($\overline{X}$) ist wegen der geschätzten Varianz aber nicht mehr normalverteilt, also ist der standardisierte Mittelwert(T) auch nicht standardnormalverteilt. Tatsächlich genügt T unter $H_0$ der T-Verteilung mit n-1 Freiheitsgraden (siehe 2.3.2). Um Ablehnung/Akzeptanz der Nullhypothese zu testen, schauen wir also ob T in den kritischen Bereich der T-Verteilung (siehe 2.3.2) fällt oder nicht.

\subsubsection{Vorzeichentest}

Der Vorzeichentest ist vom Prinzip relativ einfach. Die Messwerte müssen einer beliebigen Verteilung genügen, deren Median der Erwartungswert ist.

Wir ziehen nun von allen Messwerten $X_i$ den Erwartungswert ab und schauen wieviele Werte positiv sind oder negativ. Laut Nullhypothese müsste diese Anzahl gleich sein. Kritische Werte für die Anzahl an positiven Werten gibt es in vorgefertigten Tabellen.

Zu beachten ist, das dieser Test sehr viele Informationen verschenkt, also es verhältnismäßig schwierig ist mit diesem Test die Nullhypothese zu widerlegen.

\subsubsection{Vorzeichen-Rangsummen-Test / One-Sample Wilcoxon Test}

Der Vorzeichen-Rangsummen-Test, hat als zweites Kriterium neben dem Vorzeichen noch Summe der Ränge der Messwerte und ist somit wesentlich genauer als der Vorzeichentest. Als zusätzlich Voraussetzung muss die Verteilung der Messwerte stetig und symmetrisch um den Erwartungswert $\mu_0$ sein.

Analog zum Vorzeichentest ziehen wir von den Messwerten den Erwartungswert ab. Im nächsten Schritt ordnen wir jedem Messwert einen Rang zu. Der Rang ist die Position des Messwerts, wenn man alle Messwerte nach ihrem absoluten Abstand zum Erwartungswert sortiert (Ränge können doppelt vergeben werden, wenn z.B. zwei Werte ``auf Platz 5 sind'', haben beide Werte Rang 5.5 und Rang 5+6 wird nicht vergeben). Die positive(negative) Rangsumme $U^+$($U^-$) ist nun die Summe aller Ränge deren Messwert ein positives(negatives) Vorzeichen hat.

Je nach $H_1$ muss entweder $U^+$ oder $U^-$ oder das Minumum beider, kleiner als der kritische Wert sein (für die gibts wiederum Tabellen).


\subsection{Tests für unverbundene Stichproben}

Bei unverbunden Stichproben werden mehrere (meist zwei) Stichproben genommen, die nicht gepaart werden sondern unabhängig voneinander sind (z.B. vergleicht man Schlafzeit unter Medikament und Placebo, aber nicht hintereinander bei derselben Gruppe, sondern gleichzeitig bei unterschiedlichen Probanden derselben Gruppe).

Vorraussetzungen für die unterschiedlichen Tests (es wird außerdem vorausgesetzt, dass die Messwerte aller Tests unabhängig sind):

\begin{tabular}{l|c}
Test					& Messwertverteilung					\\\hline
Z-Test (unverbundene Stichp.)		& Normalverteilt mit bekannter Varianz	\\
T-Test (unverbundene Stichp.)		& Normalverteilt			\\
Rangsummentest				& symmetrisch bez. Erwartungswert und stetig \\
\textit{auch} Mann-Whitney oder U-Test	& 					\\
$\chi^2$-Test				& nominale Daten			\\
\end{tabular}


\subsubsection{Z-Test (für unverbundene Stichproben)}

Die Voraussetzungen für den Test sind identisch zum Z-Test (s.o.), bis auf die Unverbundenheit der Stichproben, das heißt beide Stichproben $Y_{1,i}$ und $Y_{2,i}$ sind normalverteilt mit bekannter Varianz $\sigma_0^2/n$ (laut $H_1$ sind ihre Erwartungswerte jedoch unterschiedlich).
Im Gegensatz zum Z-Test bei verbundenen Stichproben bilden wir jetzt nicht von den Differenzen der beiden Stichproben den Mittelwert, sondern die Differenz der Mittelwerte!
Also für die beiden Stichproben $Y_{1,i}$ und $Y_{2,i}$ erhalten wir die Testgröße $U = \overline{Y}_{2,*} - \overline{Y}_{1,*}$.

Diese muss auch standardisiert werden: $Z = \dfrac{\overline{Y}_{2,*} - \overline{Y}_{1,*}} {\sigma_0 * \sqrt{1/n_1 + 1/n_2}} $

Und ist laut $H_0$ dann wiederum standartnormalveteilt $\Longrightarrow$ Um Ablehnung/Akzeptanz der Nullhypothese zu testen, schauen wir nun einfach ob Z in den kritischen Bereich der Standartnormalverteilung (siehe 2.3.1) fällt oder nicht.


\subsubsection{T-Test (für unverbundene Stichproben)}

Der T-Test für unverbundene Stichproben unterscheidet sich vom Z-Test für unverbundene Stichproben wieder durch das Nicht-Wissen der Varianz. Diese wird wiederum experimentell bestimmt (geschätzt), durch $\widehat{\sigma}^2 = \dfrac{1}{n_1 + n_2 -2}( \sum (Y_{1,i} - \overline{Y}_{1,*})^2 + \sum (Y_{2,i} - \overline{Y}_{2,*})^2 )$
Auch hier wird die Testgröße aus der Differenz der Mittelwerte gebildet und dann standadisiert: 
$T = \dfrac{\overline{Y}_{2,*} - \overline{Y}_{1,*}} {\widehat{\sigma} \sqrt{1/n_1 + 1/n_2}} $

Sie hat unter $H_0$ eine t-Verteilung mit $n_1 + n_2 - 2$ Freiheitsgraden $\Longrightarrow$ Wir schauen ob der Wert in den kritischen Bereich (in Tabellen) dieser t-Verteilung fällt oder nicht.


\subsubsection{Rangsummen- / Mann-Whitney- / U-Test}

\textit{Dieser Test heißt auch Wilcoxon-test (Vorsicht Verwirrung!).}

Dieser Test unterscheidet sich stärker von seinen Verwandten für verbundene Tests, als die beiden bisherigen. Wir ``standardisieren'' erstmal nicht durch abziehen des Erwartungswerts. Die Ränge werden jetzt über die vereinigte Menge der beiden Stichproben verteilt, wobei die tatsächlichen Werte, nicht etwas die Beträge zählen.

Nun bilden wir für jede Stichprobe k die Summe ihrer Ränge $U^{(k)}$. Diese Werte werden noch ``vereinfacht'' zu $T^{(k)} = U^{(k)} - \frac{n_k(n_k+1)}{2}$, wobei für zweiseitiges Testen gilt $T = min(T^{(1)},T^{(2)})$. Für diese T-Werte gibt es wiederum Tabellen, wenn der gemessene T-Wert den Tabellenwert unterschreitet, wurde $H_0$ wiederlegt.

Man kann die T-Werte aber auch noch standardisieren durch $Z^{(k)} = \dfrac{ T^{(k)} - (n_1n_2)/2 }{ \sqrt{n_1n_2(n_1+n_2+1)/12}}$

Diese $Z^{(k)}$ sind dann annährend standardnormalverteilt und es gelten die dafür festegelegten kritschen Werte.

\subsubsection{$\chi^2$-Test}

Der $\chi^2$-Test eignet sich für nominale oder multinomiale-verteilte Daten. Nominale Variablen können ``mehrere Zustände'' haben, z.B. unterschiedliche Ausgänge eines Einzelexperiments oder die Kandidaten bei einer Wahl. $H_0$ gibt für ein bestimmtes n eine Wahrscheinlichkeit für jeden Zustand dieser Variable, unter $H_1$ weichen mindestens eine (dadurch automisch auch mindestens eine zweite) dieser ``Zustandswahrscheinlichkeiten'' von $H_0$'s ab.

Als Testgröße, die diese Wahrscheinlichkeiten und die Anzahl n umfasst definieren wir:

$ T = \sum_{j=1}^{m}\dfrac{(S^{(j)} - n\pi_0^{(j)})^2} {n*\pi_0^{(j)} } $ , wobei
 
\begin{tabular}{lll}
 Variable	& Bedeutung						& Bedutung im Beispiel Wahl\\\hline
 m		& = Anzahl der Variablenzustände			& Anzahl der Kandidaten			\\
 n		& = Anzahl der Gesamtwerte				& Gesamtanzahl der abgegebenen Stimmen \\
 $S^{(j)}$	& = Anzahl der Messwerte für Zustand j			& Anzahl der Stimmen für Kandidat j	\\
 $\pi_0^{(j)}$	& = Wahrscheinlichkeit des Zustands j 			& Wahrscheinlichkeit, dass Kandidat j gewählt wird,\\
		& unter Annahme von $H_0$ 				& wenn alles beim alten bleibt ;)	\\
\end{tabular}

Die Verteilung dieser T-Werte wird durch die $\chi^2$-Verteilung mit $m-1$ Freiheitsgraden approximiert, wobei die Approximation für große $n\pi^{(j)}$ genauer wird. Der kritische Bereich $K = \{ T \geq c \}$, wobei c wiederum vom Freiheitsgrad abhängt und sich aus der Verteilung oder einer Tabelle ablesen lässt.


\section{Konfidenzintervalle}

Ein Vertrauensintervall ist ein Intervall (Bereich) von Werten um einen zentralen Wert. Dieser Bereich gibt einerseits die ``Genauigkeit'' des Werts an, andererseits können wir auf mögliche Hyopthesen zurückschließen. Wir prüfen also nicht auf Annahme einer bestimmten Null- oder Alternativhypothese sondern, erhalten ein Intervall von möglichen Hypothesen, die Frage ist: ``Welche Hypothesen bestätigt mein Messwert?'' Es sind alle Hypothesen deren Erwartungswert im Konfidenzintervall liegt. Konfidenzintervallen werden in Prozent angegeben, üblich ist das 95\%-Konfidenzintervall.

Auch ein (zweiseitiger) Test kann mittels Konfidenzintervallen durchgeführt werden. Die Nullhypothese wird abgelehnt wenn ihr Erwartungswert nicht im Konfidenzintervall der Messwerts liegt. 

Allgemein lautet die Formel für das l\%-Konfidenzintervall: $ V = \overline{X} \pm q(l') \sigma / \sqrt{n} $, wobei

\begin{tabular}{ll}
$\overline{X}$ 	& der gemessene Mittelwert (also der Erwartungswert der angenommenen Verteilung der Messwerte) \\
$q(l')$		& das ``l'''-Quantil dieser Verteilung, wobei $l' = (l + \frac{100-l}{2}) / 100$ , normalerweise 0.975 (für 95\%) \\
$\sigma$	& die Standartabweichung der Verteilung								\\
$n$		& die Anzahl der Versuche/Beobachtungen/Ergebnise...
\end{tabular}

Daraus ergeben sich folgende Formeln für die jeweiligen Verteilungen des Lageparameters:

\begin{tabular}{lll}
 Verteilung	 	& Parameter			& Formel			\\\hline
 $ \sim B(n, p)$ 	& p				&
	$p = \widehat{p} \pm 1.96 \sqrt{\widehat{p}(1 - \widehat{p})/n}$ wobei $ \widehat{p} = \overline{X}/n$ \\
 $ \sim P(\lambda)$	& $\lambda = \varepsilon(X)$	&
	$\lambda = \widehat{\lambda} \pm 1.96\sqrt{\widehat{\lambda}}$  wobei $\widehat{\lambda} = \overline{X}$ \\ 
 $ \sim N(\mu, \sigma_0^2 )$ & $\mu =  \varepsilon(X)$ 	& $\mu = \overline{X} \pm 1.96 * \sigma_0/\sqrt{n}$ 	\\	
 $ \sim t_{n-1}$	& $\varepsilon(X)$		& 
	$\overline{X} \pm c * \widehat{\sigma}/\sqrt{n}$ wobei $\widehat{\sigma}^2$ = gem. Varianz und  c = 0.975-Quantil der $t_{n-1}$-Vert.\\
\end{tabular}



Bei diskreten Verteilten Zufallvariablen, lässt sich das Intervall auch durch ``ausprobieren'' finden.


%\subsection{Binomialverteilung}

%Wir haben eine binomialverteilte Zufallsgröße, und x von n Erfolgen gemessen. Wir wollen nun wissen in welchem Intervall die Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilungen  (also der p-Parameter) liegen, die mit dem Ergebnis von x verträglich sind (dazu führen könnten).

%Üblicherweise betrachtet man das 95\%-Konfidenzintervall, d.h. wir suchen nur die Verteilungen, bei denen x in den ``mittleren'' 95\% der kumulativen Verteilungsfunktion liegt. Die Verteilungen finden wir einfach, indem wir in Wahrscheinlickeitsschritten von z.B. 0.1 (tatsächlich wäre eine höhere Genauigkeit besser) die Annahmebereiche der jeweiligen Verteilungen $ B(n, p_*)$ überprüfen. Dabei ist die untere Grenze des Annahmebereichs das 2,5\%-Quantil und die obere Grenze das 97,5\%-Quantil (denn die Quantilsfunktion ist ja die Umkehrfunktion der kumulativen Verteilungsfunktion).

Beispiel: Wir haben $x=9$ Erfolge bei $n=20$ Versuchen erzielt und suchen das 95\%Konfidenzintervall.
\begin{tabular}{l|c|c|l}
 Verteilung	& untere Grenze	& obere Grenze	& verträglich mit x=9?\\\hline
 B(20, 0.1)	& 0		& 5		& nein			\\
 B(20, 0.2)	& 1		& 8		& nein			\\
 B(20, 0.3)	& 2		& 10		& ja			\\
 B(20, 0.4)	& 4		& 12		& ja			\\
 B(20, 0.5)	& 6		& 14		& ja			\\
 B(20, 0.6)	& 8		& 16		& ja			\\
 B(20, 0.7)	& 10		& 18		& nein			\\
 B(20, 0.8)	& 12		& 19		& nein			\\
 B(20, 0.9)	& 15		& 20		& nein			\\
\end{tabular}

$\Longrightarrow$ Das (relativ grobe) 95\%-Konfidenzintervall für den Parameter p ist [0.3,0.6]. Das entspricht ungefähr dem Wert aus der Formel : [0.232,0.668], wobei zu beachten ist, dass die Formel, die Werte auch nur für hohe n gut approximiert.


Ähnliches könnte man für die Poissonverteilung machen indem die Quantile von $P(\lambda=\overline{X}\pm1\pm2...)$ testet ob sie $\overline{X}$ enthalten.



\section{Diagnoseverfahren}

nicht geschafft

\section{Überlebensgedöhns}

nich geschafft

\end{document}

